Introducción

En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea no posee principio ni fin. Dentro de este blog conoceremos y aplicaremos formulas de distancias, pendientes, puntos medios y ecuacion general y particular de una recta

Distancia entre dos puntos:

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje "y" o en recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus cordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

La que se puede representar en un plano cartesiano.

Ejemplo:
Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) ^ B(4,1) , considerando que

A(x1, x2) B( y1, y2)

Representado en un gráfico, quedaría así:

Ejercicios:

1) Calcule distancia y gráfico de los siguientes puntos:

a- (3,2) ^ (5,1)

b- (-2,5) ^ (0,3)

c- ( 4,1) ^ (-1,1)

d- (-9,1) ^ (0,7)

e- (2,5) ^ (-7,-3)

f- (-1,7) ^ (2,-4)

Si de otro modo prefieres la explicación visual, a continuación puedes ver el siguiente vídeo:






Para finalizar, has click en este sitio para practicar con algunos ejercicios de distancia.

Pendiente:

La pendiente es la inclinación que tiene una recta y se simboliza con la letra ( m ) minúscula. Para encontrar la pendiente entre dos puntos de una recta, usaremos la siguiente fórmula:


Dentro de las pendientes, podemos destacar 4 casos :

1) Cuando la pendiente es igual a 0, significa que la recta es horizontal y por lo tanto no tiene inclinación.

2) Cuando la pendiente es indeterminada o infinita, significa que la recta es vertical y por lo tanto paralela al eje (y).


3) Cuando la pendiente es positiva ( +) significa que la recta tiene una inclinación hacia el lado izquierdo.


4) Cuando la pendiente es negativa ( - ) significa que la recta tiene una inclinación hacia la derecha.



Ejemplo:

( 2 , 2) ^ (5 , 5)
x1 x2 x2 y2

Recordemos que la fórmula para calcular pendiente es:


Entonces;

Expresado en gráfico es :




Ejercicios:
1) Encuentre la pendiente y tipo de gráfico de :

a- (-8,3) ^ (8,-3)

b-(-1,-7) ^ (1,5)

c- (2,2) ^ (6,6)

d- (-3,2) ^ (1,8)

e- (5, 5) ^ ( 7,3)

f- (6,3) ^ (-2,-4)



Para entender mejor el concepto de pendiente y como realizar de manera fácil los ejercicios veamos el siguiente vídeo :

Para finalizar, has click en este sitio para practicar con algunos ejercicios de pendiente

Punto Medio:

Es el punto que se ubica justo en la mitad de la distancia entre 2 puntos y se simboliza por ( PM ). La fórmula para encontrar el punto medio es la siguiente:


Ejemplo: encuentre el punto medio entre los puntos:


(1 , 3) ^ (5 , 7)
x1 y1 x2 y2




PM = ( 3 , 5)





Ejercicios:
1)Calcule el punto medio entre los puntos:

a- (2,7) ^ (3,6)

b- (4,5) ^ (5,3)

c- (7,5) ^ ( 8,2)

d- (5,4) ^ (3,8)

e- (6,7) ^ (5,9)

f- (8,3) ^ (9,7)


Para entender mejor el concepto de punto medio y como realizar de manera fácil los ejercicios, revisemos el siguiente vídeo:

Forma general y particular de la recta :

1) Forma general: Una recta se puede representar algebraicamente de la forma general de la siguiente manera:

Es decir, la recta tiene un componente en X y un componente en Y debe estar ordenada como se presenta en la forma general Y :

Ejemplos:

a) 2X + 3Y +5 = 0


b) 3 - 5X = 2Y
-5X - 2Y + 3 = 0


c) X - 3 = 4Y + 2X
X- 2X -4 Y - 3 = 0


d) (X-2) * 2 = 4Y
2X-4= 4Y
2X -4Y - 4= 0


2)Forma particular: Una recta para ser graficada debe ser expresada de la forma particular, es decir de la forma:

m= pendiente
b = intersección del eje Y

Ejemplos:

a) Y = 4X + 2


b) 3 X + Y -2 =0
Y= 3X + 2

Ecuación de la recta entre 2 puntos:

Para encontrar la ecuación de la recta, ya sea de la forma general o particular entre dos puntos se usa la siguiente formula ( los valores de X e Y no se reemplazan) :

Ejemplos:
1) Encuentre la ecuación de la recta de la forma general, entre los puntos :

( 1,5) ^ (2,3)
x1 y1 x2 y2

2) Encuentre la ecuación de la recta de la forma particular, entre los puntos :

( 2,4) ^ (-1,6)
x1 y1 x2 y2

Ejercicios:
Encuentre la ecuación de la recta de la forma general y particular de los siguientes puntos :

a- ( 5,6) ^ ( 4,3)

b- (-4,4) ^( 3,3)

c- (7,8) ^ ( 8,7)

d- ( 6,7) ^( 2,3)

e- (9,4) ^ ( 4,9)

f- (-2,6) ^(5,-2)